Аналитическая функция

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к навигации Перейти к поиску

Аналитическая функция:

  • действительной переменной — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.
    Однозначная функция f называется аналитической в точке z0, если сужение функции f на некоторую окрестность z0 является аналитической функцией.
    Если функция аналитична в точке z0 то она аналитическая в каждой точке некоторой окрестности точки z0.
  • комплексной переменной — функция комплексной переменной f ( z ) = u ( z ) + i v ( z ) f(z)=u(z)+iv(z) (где u ( z ) u(z) и  v ( z ) v(z)  — вещественнозначные функции комплексного переменного, являющиеся, соответственно, вещественной и мнимой частью рассматриваемой функции), для которой в некоторой области A C A\in\mathbb C , называемой областью аналитичности, выполняется одно из трех равносильных, как доказвается в курсе комплексного анализа условий:
    1. Для вещественной и мнимой части этой функции в каждой точке z = x + i y A z=x+iy\in A выполняются условия Коши - Римана (аналитичность в смысле Коши — Римана);
    2. Ряд Тейлора функции в каждой точке z A z\in A сходится и его сумма равна f ( z ) f(z) (аналитичность в смысле Вейерштрасса);
    3. Интеграл Γ f ( z ) d z = 0 \int_\Gamma\,f(z)\,dz=0 для любой замкнутой кривой Γ A \Gamma\subset A (аналитичность в смысле Коши).

Свойства[править | править код]

  1. Если f ( z ) f(z) и  g ( z ) g(z) аналитичны в области G C G\subset\mathbb C , то аналитическими в  G G также будут функции f ( z ) ± g ( z ) f(z)\pm g(z) , f ( z ) g ( z ) f(z)\cdot g(z) и  f ( g ( z ) ) f(g(z)) .
  2. Если g ( z ) g(z) в области G G не обращается в ноль, то f ( z ) g ( z ) \frac{f(z)}{g(z)} будет аналитична в  G G
  3. Если f ( z ) f'(z) в области G G не обращается в ноль, то f 1 ( z ) f^{-1}(z) будет аналитична в  G G .

Некоторые свойства аналитических функций близки к свойствам многочленов, что, впрочем, и неудивительно — определение аналитичности в смысле Вейерштрасса свидетельствует о том, что аналитические функции — в некотором роде предельные варианты многочленов. Допустим, согласно основной теореме алгебры любой многочлен может иметь нулей числом не более его степени. Для аналитических функций справедливо аналогичное утверждение, вытекающее из теоремы единственности в альтернативной форме — множество нулей аналитической в односвязной области функции не может иметь в этой области предельных точек, в противном случае функция тождественно равна нулю.

Примеры[править | править код]

Все многочлены являются аналитическими функциями во всей плоскости C \mathbb C . Далее, аналитическими (правда, в большинстве случаев в каких-то определенных областях) являются элементарные функции.

Но:

  1. Функция f ( z ) = | z | f(z)=|z| не является аналитической в  C \mathbb C , так как она не имеет производной в точке z = 0 z=0 .
  2. Функция f ( z ) = z f(z)=\overline{z} не является аналитической по тем же соображениям. Однако её сужение на вещественную ось будет аналитической функцией, так как оно будет совпадать с сужением функции f ( z ) = z f(z)=z .