Лоренц-инвариантность

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к навигации Перейти к поиску

Лоренц-ковариантность — свойство физических законов записываться одинаково во всех инерциальных системах отсчета (с учётом преобразований Лоренца). Принято считать, что этим свойством должны обладать все физические законы, и экспериментальных отклонений от него не обнаружено. Однако некоторые теории пока не удаётся построить так, чтобы выполнялась Лоренц-ковариантность.

Терминология[править | править код]

Лоренц-ковариантность физических законов[править | править код]

Лоренц-ковариантность физических законов — конкретизация принципа относительности (т.е. постулируемого требования независимости результатов физических экспериментов и записи уравнений от выбора конкретной инерциальной системы отсчёта). Исторически эта концепция стала ведущей при включении в сферу действия принципа относительности (раньше формулировавшегося с применением не преобразования Лоренца, а преобразования Галилея) максвелловской электродинамики, уже тогда лоренц-ковариантную и не имевшую видимых возможностей переделки для ковариантности относительно преобразований Галилея, что привело к распространению требования лоренц-ковариантности и на механику и вследствие этого к изменению последней.

Лоренц-инвариантные величины[править | править код]

Лоренц-инвариантностью называют свойство какой-нибудь величины сохраняться при преобразованиях Лоренца (обычно имеется в виду скалярная величина, однако встречается и применение этого термина к 4-векторам или тензорам, имея в виду не их конкретное представление, а "сами геометрические объекты").

Согласно теории представлений группы Лоренца, лоренц-ковариантные величины, помимо скаляров, строятся из 4-векторов, спиноров и их тензорных произведений (тензорные поля).

«инвариантность» vs «ковариантность»[править | править код]

В последнее время наметилось вытеснение термина лоренц-ковариантность термином лоренц-инвариантность, который всё чаще применяется равно и к законам (уравнениям) и к величинам. Трудно сказать, является ли это уже нормой языка, или всё же скорее некоторой вольностью употребления. Однако в более старой литературе имелась тенденция строгого разграничения этих терминов: первый (ковариантность) употреблялся по отношению к уравнениям и многокомпонентным величинам (представлениям тензоров, в том числе векторов, и самим тензорам, т.к. часто не проводилось терминологической грани между тензором и набором его компонент), подразумевая согласованное изменение компонент всех входящих в равенства величин или просто согласованное друг с другом изменение компонент разных тензоров (векторов); второй же (инвариантность) применялся, как более частный, к скалярам (также к скалярным выражениям), подразумевая простую неизменность величины.

Примеры[править | править код]

Скаляры[править | править код]

Синонимом слов лоренц-инвариантная величина в 4-мерном пространственно-временном формализме является термин скаляр, который для полной конкретизации подразумеваемого контекста иногда называют лоренц-инвариантным скаляром.

Интервал: Δ s 2 = x a x b η a b = c 2 Δ t 2 Δ x 2 Δ y 2 Δ z 2   \Delta s^2=x^a x^b \eta_{ab}=c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2\

Собственное время: при равномерном движении: Δ τ = Δ s 2 c 2 , Δ s 2 > 0 \Delta \tau = \sqrt{\frac{\Delta s^2}{c^2}},\, \Delta s^2 > 0 в общем случае: Δ τ = d τ = 1 c ( d s ) 2 = 1 v 2 c 2 d t ,     \Delta \tau = \int d\tau = \frac 1c\int \sqrt{(ds)^2} = \int \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} dt,\ \ где   v ~v - величина трехмерной скорости, причем подразумевается, что всюду   ( d s ) 2 > 0 , v ~(ds)^2 > 0, v

Действие для массивной бесструктурной точечной частицы массы m: S = m c 2 Δ τ = m c ( d s ) 2 = m c 2 1 v 2 c 2 d t S = mc^2\Delta \tau =mc\int \sqrt{(ds)^2} = mc^2\int \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} dt


Инвариантная масса m: m 2 c 2 = p a p b η a b = E 2 c 2 p x 2 p y 2 p z 2 m^2 c^2 = p^a p^b \eta_{ab}= \frac{E^2}{c^2} - p_x^2 - p_y^2 - p_z^2

Электромагнитные инварианты (из теории Максвелла): F a b F a b =   2 ( B 2 E 2 c 2 ) F_{ab} F^{ab} = \ 2 \left( B^2 - \frac{E^2}{c^2} \right) G c d F c d = ϵ a b c d F a b F c d = 2 c ( B E ) G_{cd}F^{cd}=\epsilon_{abcd}F^{ab} F^{cd} = \frac{2}{c} \left( \vec B \cdot \vec E \right)

Волновой оператор (оператор Д'аламбера): = η μ ν μ ν = 1 c 2 2 t 2 2 x 2 2 y 2 2 z 2 \Box = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu \partial_\nu = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2}

4-векторы[править | править код]

x a = [ c t , x , y , z ]   x^a = [ct, x, y, z]\ a = [ 1 c t , x , y , z ] \partial_a = \left[ \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right] U a = d x a d τ = γ [ c , d x d t , d y d t , d z d t ] U^a = \frac{dx^a}{d\tau} = \gamma \left[c, \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt}\right] p a = m 0 U a = [ E c , p x , p y , p z ] p^a = m_0 U^a = \left[\frac{E}{c}, p_x, p_y, p_z\right] j a = [ c ρ , j x , j y , j z ]   j ^a = [c\rho, j_x, j_y, j_z]\

Тензоры[править | править код]

δ b a = { 1 if  a = b , 0 if  a b . \delta^a_b = \begin{cases} 1 & \mbox{if } a = b, \\ 0 & \mbox{if } a \ne b. \end{cases} η a b = η a b = { 1 if  a = b = 0 , 1 if  a = b = 1 , 2 , 3 , 0 if  a b . \eta_{ab} = \eta^{ab} = \begin{cases} 1 & \mbox{if } a = b = 0, \\ -1 & \mbox{if }a = b = 1, 2, 3, \\ 0 & \mbox{if } a \ne b. \end{cases} ϵ a b c d = ϵ a b c d = { + 1 if  { a b c d }  is an even permutation of  { 0123 } , 1 if  { a b c d }  is an odd permutation of  { 0123 } , 0 otherwise. \epsilon_{abcd} = -\epsilon^{abcd} = \begin{cases} +1 & \mbox{if } \{abcd\} \mbox{ is an even permutation of } \{0123\}, \\ -1 & \mbox{if } \{abcd\} \mbox{ is an odd permutation of } \{0123\}, \\ 0 & \mbox{otherwise.} \end{cases} F a b = [ 0 E x / c E y / c E z / c E x / c 0 B z B y E y / c B z 0 B x E z / c B y B x 0 ] F_{ab} = \begin{bmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix} G c d = 1 2 ϵ a b c d F a b = [ 0 B x B y B z B x 0 E z / c E y / c B y E z / c 0 E x / c B z E y / c E x / c 0 ] G_{cd} = \frac{1}{2}\epsilon_{abcd}F^{ab} = \begin{bmatrix} 0 & B_x & B_y & B_z \\ -B_x & 0 & -E_z/c & E_y/c \\ -B_y & E_z/c & 0 & -E_x/c \\ -B_z & -E_y/c & E_x/c & 0 \end{bmatrix}


См. также[править | править код]

Ссылки[править | править код]


Wiki letter w.svg
В этой статье или секции нет ссылок на источники информации.
Вы можете помочь улучшить эту статью, добавив список литературы или внешние ссылки.

hu:Lorentz-invariancia